欧拉恒等式也被成为欧拉公式，是一个令人着迷的数学公式之一，欧拉恒等式的关系式表示为e^iπ + 1 = 0 其中e是自然指数的底，i是虚数单位，π是圆周率。下面我们用最简单的方式理解欧拉恒等式。
我曾经让高年级孩子们填过一个表格，关于“柏拉图立体(Platonic Solids)”的。如下图所示：
表格后面的几个问号需要用到组合数学的知识，具体我就不解释了，大家看下图就可以，这里省里五百字。比如说：
然后我把表格填完整，得到下图，问大家从表格里发现了什么？
有一些观察力强的孩子发现了一个有趣的规律，即：顶点数+面数-边数=2。这就是著名的欧拉恒等式“V+F-E=2”。
今天我们重点来解释一下，为什么欧拉恒等式永远是成立的，不仅平面上成立，而且在立体图形上同样是成立的。
第一部分：平面上的证明
对于任意的平面图形而言，都是由有限的“边”(edges)、“顶点”(vertices)和“面”(faces)所组成。这是这个问题的一个起点，关于这个起点大家应该没有什么异议吧，否则我们就没法说下去了。
这里有3个面(或者说“区域”)，有4个顶点，还有5条边，顶点数+面数-边数=4+3-5=2。欧拉恒等式成立。
要证明欧拉恒等式在平面上成立，我们可以通过数学归纳法。
第一步：计算只有一个顶点而没有任何边长时的V+F-E，答案是2。
第二步：从一个顶点变为一条线段，即加上一个顶点和一个边长后，再次计算V+F-E，答案还是2。因为我们分别增加了一个顶点与一条边，互相抵消了。
第三步：当我们只增加一条边，但不增加顶点时，分别计算图形增加边长前后的V+F-E，答案依旧是2。因为虽然只增加了一条边，但没有增加顶点，但因此产生了一个区域，新增加的边长数与新增加的区域数又一次互相抵消了。
第四步：用以上步骤给任何平面且相互连接的图形增加边或者顶点，分别计算V+F-E。
第五步：任意画几个图形，并加入一些边或者顶点，分别计算增加边或者顶点后的V+F-E。
当你只增加一条边时，就会同时增加一个区域;当你增加一个顶点时，你就必须增加原图形的边。因此，在构建平面并且互相连接图形的每一个步骤中，都是V+F-E=2。
证明完毕。
第二部分：立体图形上的证明
我们以常见的立方体为例。
这里需要说明的是：在立体图形上，我们只计算这个立体图形本身所有的“面”，外部空间本身不属于我们考虑的范围。这一点与平面图形是有区别的，读者朋友可以自己想一想为什么?
第一步：先取其中一个面进行计算，V+F-E=4+1-4=1。没错，最后等于1，不是2。
第二步：将两个面合起来进行计算，当两个面合起来的时候，相邻的4个顶点和2条边消失了，所以最后其实和上一步是一样的，即：V+F-E=4+1-4=1。
第三步：继续，在上一步的基础上再合并一个面。同理可得，V+F-E=4+1-4=1。
第四步：当我们把六个面都按照立方体的展开图合并后，如下图所示：
经过计算可得：V+F-E=12+1-12=1。
第五步：把其中两个面折起来。我们发现，在组合这个展开的图形时，每次都会使得顶点和边各减少1，所以V+F-E=1不变。
直到最后一个面进行组合复原时，会导致顶点减少2、边减少3。
因此，欧拉恒等式证明完毕。
这是一堂很适合与孩子们一起探索发现并进行数学归纳法证明的课，希望大家可以发现一些数学探索的乐趣。
文/Mr.Why