今天讲到一道美国数学竞赛题，原题很简单：The maximum number of intersection points of four different circles is:
A）16 B）12 C）8 D）6
翻译过来就是：四个不同的圆，最多会产生几个交点？
小朋友们的第一反应就是画圈圈。这很好，学数学就应该多动手，光想是远远不够的。因为我们都不是爱因斯坦，可以在一百年前就想到相对论，提出引力波。很快就有小朋友得到了正确的答案：12个。很多孩子学数学的时候，在得到正确的答案之后就停止了进一步思考，不会举一反三，这就是他们在学习的路上走得很辛苦的一个重要原因。
我在课堂上经常和孩子们说：“你们做完一道题目后，应该多思考一下，如果这个题目中的条件改变一下会怎样？”比如说上面这道题，非常简单的问题，虽然很容易得到答案，但假如问题问你10个圆圈呢，我们又该如何解答？100个圆又如何？总不能一个一个画出来吧！假如我们能找到一般性的规律，就能举一反三，以不变应万变，学习就会变得轻松和愉快了！
找规律就要从最简单的情况开始，逐渐变得复杂，然后去发现一般性的规律。一个圆是不会产生交点的，所以一开始的情况只能是两个圆。经过几次尝试后，我们就会发现，两个圆会产生交点的情况通常有三种，如下图所示：
我们发现：两个圆相交，最多可以产生2个交点。
继续增加一个圆，变为三个圆的相交问题。三个圆的情况就变得有点多样化了。同样经过尝试和观察，我们可以发现，基本上有如下几种情况：
到了这里，我们基本上可以得出一个结论：要使得圆与圆之间的交点数量尽可能地多，只有圆与圆两两相交才可以。
那么，这个题目的关键就变为：四个圆两两相交，有多少种组合？或者换句话说就是：四个圆里面取出两个圆，有多少种可能性？
假如我们熟悉排列组合计数问题，我们很容易就可以得到答案：（4×3）÷（2×1）＝6种。
由于每两个圆相交最多可以产生2个交点，那么6种组合就有：6×2＝12个交点。
到了这里，我们就将问题一般化了，哪怕条件改为10个甚至100个不同的圆，我们都能快速得到答案。
这里，组合计数再次显示出了它的威力，这也是我喜欢给孩子们讲组合数学的原因。因为组合数学可以让我们迅速看到问题的关键，只要熟悉加减乘除，我们就可以用组合数学来训练我们的数学思维能力。
最后，再给读者朋友们提一个小问题：原题中“不同（different）”这个词是否可以省略？假如都是“完全相同（identical）”的圆，又会出现什么问题？
动动手吧！聪明的你，应该很快就能想得到问题的关键！