四个不同的圆,最多会产生几个交点?

橘子网 2,713 0

今天讲到一道美国数学竞赛题,原题很简单:The maximum number of intersection points of four different circles is:

A)16    B)12    C)8    D)6

翻译过来就是:四个不同的圆,最多会产生几个交点?

小朋友们的第一反应就是画圈圈。这很好,学数学就应该多动手,光想是远远不够的。因为我们都不是爱因斯坦,可以在一百年前就想到相对论,提出引力波。很快就有小朋友得到了正确的答案:12个。很多孩子学数学的时候,在得到正确的答案之后就停止了进一步思考,不会举一反三,这就是他们在学习的路上走得很辛苦的一个重要原因。

我在课堂上经常和孩子们说:“你们做完一道题目后,应该多思考一下,如果这个题目中的条件改变一下会怎样?”比如说上面这道题,非常简单的问题,虽然很容易得到答案,但假如问题问你10个圆圈呢,我们又该如何解答?100个圆又如何?总不能一个一个画出来吧!假如我们能找到一般性的规律,就能举一反三,以不变应万变,学习就会变得轻松和愉快了!

找规律就要从最简单的情况开始,逐渐变得复杂,然后去发现一般性的规律。一个圆是不会产生交点的,所以一开始的情况只能是两个圆。经过几次尝试后,我们就会发现,两个圆会产生交点的情况通常有三种,如下图所示:

四个不同的圆,最多会产生几个交点?

我们发现:两个圆相交,最多可以产生2个交点。

继续增加一个圆,变为三个圆的相交问题。三个圆的情况就变得有点多样化了。同样经过尝试和观察,我们可以发现,基本上有如下几种情况:

四个不同的圆,最多会产生几个交点?

到了这里,我们基本上可以得出一个结论:要使得圆与圆之间的交点数量尽可能地多,只有圆与圆两两相交才可以

那么,这个题目的关键就变为:四个圆两两相交,有多少种组合?或者换句话说就是:四个圆里面取出两个圆,有多少种可能性?

假如我们熟悉排列组合计数问题,我们很容易就可以得到答案:(4×3)÷(2×1)=6种。

四个不同的圆,最多会产生几个交点?

由于每两个圆相交最多可以产生2个交点,那么6种组合就有:6×2=12个交点。

到了这里,我们就将问题一般化了,哪怕条件改为10个甚至100个不同的圆,我们都能快速得到答案。

这里,组合计数再次显示出了它的威力,这也是我喜欢给孩子们讲组合数学的原因。因为组合数学可以让我们迅速看到问题的关键,只要熟悉加减乘除,我们就可以用组合数学来训练我们的数学思维能力。

最后,再给读者朋友们提一个小问题:原题中“不同(different”这个词是否可以省略?假如都是“完全相同(identical)”的圆,又会出现什么问题?

动动手吧!聪明的你,应该很快就能想得到问题的关键!

上一篇:

下一篇:

相关阅读

发表评论 取消回复
表情 图片 链接 代码

分享