糖水想必每个小朋友都喝过吧，今天我们来学一个由糖水浓度所引发的数学问题，以及对辛普森悖论的思考。
有一杯200克浓度为60%的糖水，往糖水里加入50克糖，请你计算加糖后的糖水浓度是多少?
计算：(200×60%+50)/(200+50)×100%=170/250×100%=68%。这说明了一个很显而易见的常识，往糖水里加糖，肯定会变得更加甜。
当然，这里的前提条件是，你我都要认同增加糖的质量会让我们味觉变甜。如果彼此在这一点上不能达成共识，这个问题就无从谈起。
进一步，有一杯200克浓度为60%的糖水和一杯300克浓度为70%的糖水，现在将两杯糖水混合，请你计算混合后糖水浓度是多少?
计算：(200×60%+300×70%)/(200+300)×100%=330/500×100%=66%。这说明了两杯不同浓度的糖水混合后，其浓度会介于原先的两杯糖水浓度之间。
用代数来表示就是：
用代数来证明，简单的过程如下：
这个就是著名的“糖水不等式”，据说最早由罗增儒教授提出。
那么，这个不等式还可以如何证明呢?
证明一：利用斜率的视角，如下图所示。
证明二：还是斜率的视角，如下图所示。
或者，
证明三：矩形面积的视角，如下图所示。
这个糖水不等式除了与我们的生活常识密切相关外，还能用来解释数学上一个著名的悖论“辛普森悖论”(Simpson’s Paradox)。
辛普森悖论指的是，当人们尝试探究两种变量(比如新生录取率与性别)是否具有相关性的时候，会分别对之进行分组研究。然而，在分组比较中都占优势的一方，在总评中有时反而是失势的一方。该现象于20世纪初就有人讨论，但一直到1951年，辛普森(Edward H. Simpson)在他发表的论文中阐述该现象后，该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名此悖论，即辛普森悖论。
举个例子：A和B都是棒球运动员。在一个赛季的前半段，A的击球率高于B的击球率;在赛季的后半段，A的击球率仍然高于B。那么请问：在整个赛季中，谁的击球率更高一些?
在大部分人的眼里，这个问题的答案应该是这样的：
但是，在数学家的眼里，这个问题的答案却有可能是这样的：
再举个例子，假设有一所大学招聘教职员工，有历史和地理两个院系的职位对外公开招聘。其中：历史系的职位有5名男性和8名女性申请，分别有1名男性和2名女性被录用，男性的录取率为20%，女性的录取率为25%。因此，历史系偏爱女性而非男性。而地理系的职位有8名男性和5名女性申请，分别有6名男性和4名女性被录用，男性的录取率为75%，女性的录取率为80%。因此，地理系也偏爱女性而非男性。单独来看历史性和地理系的录取率，女性的比例都要高于男性。然而，整个大学13名男性和13名女性申请了工作职位，最后录用了7名男子和6名妇女。男性申请者的成功率高于女性申请者的成功率。
辛普森悖论用不等式来表示就是：
我们同样是用几何图形来解释一下这个悖论。如下图所示：
糖水不等式在概率问题上同样可以有应用。
例如，一只口袋里装有3个红球和7个白球。现在：
(1)从口袋里任意摸出一个球，恰是红球的概率是多少?
(2)再向口袋里放入两个红球，则从口袋里任意摸出一个球，恰好是红球的概率是变大还是变小，说明理由。
(3)如果向口袋中加入的是一个红球和一个白球，那么取出红球的概率有什么样的变化?
(4)如果加入的是一个红球和两个白球，取出红球的概率又如何变化呢?
解答：
(1)P1=3/10。
(2)P2=(3+2)/(10+2)=5/12>3/10，即P2>P1。说明加入红球之后，取出红球的概率变大了，这里的红球可以视作是“糖”，口袋里的球可以视作是“糖水”。
(3)P3=(3+1)/(10+2)=4/12=1/3>3/10，即P3>P1。说明加入红球之后，取出红球的概率变大了。
(4)P4=(3+1)/(10+3)=4/13>3/10，即P4>P1。说明加入红球之后，取出红球的概率变大了。
上面(3)和(4)两个小问题可以从生活常识上来理解：如果加入的糖水浓度比原来的糖水浓度大，则加入后糖水变甜;反之，加入后糖水变淡。问题(3)加入的“糖水”浓度为1/2，大于原先的3/10;而问题(4)加入的“糖水”浓度为1/3，同样大于原先的3/10。所以浓度(概率)都增大了，但不会超过新加“糖水”的浓度。这就是糖水不等式在概率问题上的应用和解释。
其实，这个糖水不等式在很多高考数学题中都有涉及，留待以后再展开说明。
一杯糖水，一个不等式，一个概率问题，再加一个著名的数学悖论，居然是一回事。你说数学有趣不有趣?