经典几何图形解释一个常见数学口诀

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在前面的文章《一个经典最值问题的几何解释》中,我用简单的几何图形,向低年级孩子解释了一个常见数学口诀的数学含义:当两个正整数的和一定时,这两个正整数之间的差越小,则它们的乘积就越大;相反,如果这两个正整数之间的差越大,则它们的乘积就越小。具体内容大家可以点击链接阅读。

今天,我针对小学高年级和初中同学,再对这个口诀做进一步的阐释。

视角一:

经典几何图形解释一个常见数学口诀

如上图所示,4个a×b的长方形组合成了一个边长为a+b的正方形。可以得到:(a+b)2-(a-b)2=4ab。由于边长a+b即两数之和保持一定,则正方形面积一定。要使得a×b最大,则(a-b)2要最小,即a-b最小,也就是说a=b是最小。

这就证明了:当两个正整数的和一定时,这两个正整数之间的差越小,则它们的乘积就越大;相反,如果这两个正整数之间的差越大,则它们的乘积就越小。

反过来也是相似。当乘积ab一定时,即4ab保持一定时,若两数的和a+b越大,则a-b也要相应越大,这样才能保持上式中的差4ab保持不变。因此,当两个正整数的乘积一定时,这两个正整数之间的差越大,则它们的和就越大;相反,如果这两个正整数之间的差越小,那么它们的和就越小。

视角二:

经典几何图形解释一个常见数学口诀

如上图所示,设a与b的平均数为(a+b)/2,则a×b=(c+x)×(c-x)=c2-x2,即ab=c2-x2。因为a+b一定,则c=(a+b)/2一定。要使得ab最大,则必须使x2最小,即x为0时,ab最大。此时,a=b。证明完毕。

反过来,当乘积ab一定时,若两数的和a+b越大,即c越大,x也要越大,这样才能保证上式中的差ab不变。这也再一次证明了,“当两个正整数的乘积一定时,这两个正整数之间的差越大,则它们的和就越大;相反,如果这两个正整数之间的差越小,那么它们的和就越小。

以上内容,供小学高年级同学和初中生同学参考。

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