爬楼梯带给我们的数学思考

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爬楼梯带给我们的数学思考

在2010年的AMC 8比赛中,最后一题(第25题)是:Every day atschool, Jo climbs a flight of 6 stairs. Jo can take stairs 1, 2 or 3 at a time. For example, Jo could climb 3, then 1, then 2 stairs. In how many ways can Jo climb the stairs?

翻译成中文就是:乔(Jo)每天在学校里都要爬一段6个台阶的楼梯。他每次可以爬1个台阶、2个台阶或者3个台阶。比如:他可以先爬3个台阶,然后爬1个台阶,最后再爬2个台阶。请问:乔爬这个楼梯一共有多少种方法?

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作为美国数学协会(MMA)所主办的数学竞赛中最初级的AMC 8,针对的是小学高年级和初中低年级的学生。那么只要稍微考虑仔细一点,这道题用最原始的“枚举法”就可以完成。

我们先看用枚举法如何解这道题。这里要用到一个很常用的方法,即“铺砖法”。这里的每1个台阶都可以用1个正方形来表示。

(1)假如每次全部都爬1个台阶,或者2个台阶,或者3个台阶,显然只有3种方法,如图所示:

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(2)再考虑在每次全部都爬1个台阶的情况下,其中有一次是爬2个台阶的,显然只有5种方法,如图所示:

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(3)再考虑在每次全部都爬1个台阶的情况下,其中有两次是爬2个台阶的,显然只有6种方法,如图所示:

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(4)接着考虑在每次全部都爬1个台阶时,其中有一次是爬3个台阶的,显然只有4种方法,如图所示:

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(5)最后考虑爬楼梯时1个台阶、2个台阶和3个台阶都用上的情况,显然有6种方法,如图所示:

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综上,一共有:3+5+6+4+6=24种爬完这段楼梯的方法。

用枚举法解决这个问题很容易,适合大部分孩子,但这样的方法弊端也很明显。因为假如题目中的条件改为10个台阶的楼梯或者20个台阶的楼梯甚至更多,枚举的工作量就会大大增加,如果没有学过排列组合,出错率将会明显提高。

作为美国数学协会的竞赛题,出题者显然不会只是为了让孩子们做这种傻事,或者说无聊的事情。那么,有么有更加简单的方法呢?当然有。下面,我就用数学中常用的递归法来解这道题。

我们先看,假如爬到楼梯第一个台阶,显然只有1种方法。如下图所示:

爬楼梯带给我们的数学思考爬楼梯带给我们的数学思考

假如爬到楼梯第二个台阶,方法则有2种:1+1;2。如下图所示:

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假如爬到楼梯第三个台阶,方法变成了4种:1+1+1;1+2;2+1;3。(图略)

关键在于,假如爬到楼梯第四个台阶时,我们该如何来看这个问题。

假如你第一脚迈了一个台阶,那么你就剩下三个台阶要爬。从前文我们可以知道,一共有4种方法来完成这剩下的三个台阶,即:1+(1+1+1);1+(1+2);1+(2+1);1+(3)。

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假如你第一脚迈了两个台阶,那么你就剩下两个台阶要爬。从前文我们可以知道,一共有2种方法来完成这剩下的两个台阶,即:2+(1+1);2+(2)。

假如你第一脚迈了三个台阶,那么你就剩下一个台阶要爬,从前文我们可以知道,只有1种方法可以完成这剩下的一个台阶,即:3+(1)。

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那么,你爬到第四个台阶就有:4+2+1=7种方法。同理,爬到第五个台阶就有:7+4+2=13种方法;爬到第六个台阶就有:13+7+4=24种方法。

这就是数学里的“递归法”,在很多问题上具有非常美妙地应用。聪明的你可以进一步深入想一想:假如题目条件改为“每次可以爬1个台阶、2个台阶、3个台阶或者4个台阶”,递归又该如何?

最后,留一道有趣的问题给大家,看看是否可以从这篇文章里得到一些启发。题目如下:

有一只小蜜蜂,要从左下角的六边形格子走到右上角的格子里。假设这只小蜜蜂不走回头路,即只能往上、往右或者往下走,请问有多少种走法?

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最后,还是那句话:学数学,主要是学思辨能力和逻辑推理能力,而不仅仅是为了一个答案!

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