在数论中，有两个以法国数学家皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）命名的定理，一个叫做费马小定理（Fermat's little theorem），另一个叫做费马大定理（Fermat's Last Theorem，也叫费马最终定理）。今天我们要讲的是前者“费马小定理”，它在实际应用中非常广泛，为质数的检测奠定了理论基础。
费马于1640年在写给朋友Bessy的信中第一次提出了这个定理。费马认为：当p是一个质数时，对于任意的整数a都有ap≡a（mod p）。当然，费马本人并没有给出数学证明。据考证，历史上第一个证明费马小定理的人是德国数学家莱布尼茨。费马作为“业余数学家之王”，总是干这种事情，费马大定理也是如此，足足让后人折腾了三百六十多年才最终由英国剑桥数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew John Wiles）得到证明。
后来，由包括欧拉等人都给出了费马小定理的证明过程，这些证明在各种数论著作和教科书中都可以找到答案，我就不再赘述了。这里，我想通过组合数学的角度，来让读者朋友们直观地理解一些费马小定理的正确性，希望对大家学习数论有所启发和帮助。
废话少说，言归正传。让我先从最简单的圆桌座位和串珠问题开始说起。听过我讲组合数学的同学应该很熟悉，我经常以圆桌座位和串珠问题作为解释排列问题的经典例子。
问题：有一个圆桌，共有五个座位。五个人坐在这些座位上，共有几种入座方式？
很多同学第一眼看到这个问题时，都会想当然地回答：5！＝5×4×3×2×1＝120种。真的是这样吗？
要回答这个问题，就要先理解圆桌和长桌的座位有什么区别。假如现在不是圆桌，而是长桌。如下图所示：
假设现在有A、B、C、D、E这五个人入座，ABCDE是一种就座的顺序，EABCD也是一种顺序，DEABC又是一种顺序，……。之所以称为不同的就座顺序，是因为对于这里的每个人而言，他们左右的邻居或多或少都发生了一些变化。因此，就长桌而言，答案就是5!＝5×4×3×2×1＝120种。
那么圆桌呢？与长桌相比，又有什么变化呢？我们发现，下面这五种情况虽然在长桌上属于不同的情况，但在圆桌上其实是一种情况，因为对于这五人中的任何一位而言，无论怎么入座，他的左右领座都没有发生变化，所以属于同一种顺序。
因此，上述问题的答案就是5!/5＝4!＝24种，这里除以5是把五种相同的重复情况剔除掉。
那么，这个问题到底对费马小定理的理解有什么帮助呢？接下来，就让我们从这个问题出发，扩展到费马小定理的证明上去。
假设有3种（a）不同颜色的珠子，每种珠子都有无穷多颗。现在从这些珠子中挑出颜色不完全相同的5颗（p）珠子来串成项链，总共可以串出多少种不同的项链？
我们先从简单的情况考虑，只考虑将任意的5颗（p）珠子串成一长条的珠子串。如下图所示：
那么，对于每一个位置上的珠子而言，都有3种（a）颜色可供选择，也就是有3种可能性，那么5颗珠子就有35（ap）种可能性。在这些可能性里面，全部5颗珠子是一种颜色的有3种（a）可能性，不符合条件，要剔除。于是，剩下的全部可能性就是35－3种（ap－a）可能性。
然后，我们又发现，下面这5种长条的珠子串在接成项链的时候其实属于同一种情况，被重复计算了，需要剔除。如下图所示：
因此，满足条件的可能性就是(35－3)/5种可能性，即：(ap－a)/p。这个结果一定是一个整数。于是，我们可以得到p| ap－a，即ap≡a（mod p）。
最后我们还要解决一个问题，那就是：假如p不是一个质数，这个定理是不成立的。
现在假设项链需要6颗珠子（p＝6），看看会发生什么情况？
我们发现，在上图中，每3种颜色的6颗珠子组合，最终其实对应的是同一条项链。这从直观上证明了当p为合数而非质数时，费马小定理是不成立的。证明完毕。
另外，费马小定理还有一个推论：假如p是一个质数，对于任何一个不能被p整除的整数a而言，都有ap-1≡1（mod p）。这个推论很容易证明。根据前面的费马小定理，我们可知p| ap－a，进而可得到p| a(ap-1－1)。由于p不能整除a，那么p一定可以整除ap-1－1，即p| ap-1－1，于是可以得到ap-1≡1（mod p）。证明完毕。
同学们和读者朋友们，你们有么有觉得用组合数学的视角来证明费马小定理很有意思啊！这就是我为何特别喜欢给学生讲组合数学的一个原因，让你有不同的视角看同样的问题，得到很直观的答案。
费马小定理就讲解到这里，大家要继续努力学习哈！最美妙的学问需要大家努力去奋斗才会感受到，“无限风光在险峰”说的就是这个意思。加油吧！