组合计数中的切水果数学问题

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很多人都在平板电脑或者手机上玩过“切水果”的游戏吧!在数学中,有不少与切西瓜或者切蛋糕相关的题目。在前面的文章里,我曾写过“如何数圆与圆之间的交点数”和“如何切割圆形得到的块数最多”等问题。今天是2017年最后一天,我再抛出一道新的题目,看看小朋友们的数学思维能力如何!

题目是这样的:在圆周上有6个点,用直线连接圆周上的任意两点,对该圆进行分割,我们能得到的区块数量最大是多少?假如有7个点又是多少?8个点或9个点又当如何?

组合计数中的切水果数学问题

这题目初看起来有那么点烧脑。这里,大家可以先燃烧一下你们的脑细胞,然后再继续往下看!

组合计数中的切水果数学问题

通常,我们解决这种题目,可以先进行尝试,然后观察归纳总结规律。我把1至5个点的情况先画了出来,如图所示。

组合计数中的切水果数学问题

经过观察我们可以发现,最后的区块数量与两个因素有关:一个是任意两个点所连接的直线段数量,因为线越多,区块数量会随之增加;另一个则是直线与直线在圆的内部的交点数量,因为如果在圆的内部出现三条线交于同一点的情况,所分割的区块数量显然要少于三条线两两相交的情况(这一点可以参考前面的文章)。

那么,我们可以根据这个观察结果进一步作列表观察。如下图所示:

组合计数中的切水果数学问题

经过比较,我们发现,每一行的线段数与交点数之和,均与最后的块数相差1。这是一个重要的发现。

于是,我们可以猜想,块数(P)与线段数(L)和交点数(I)一定存在某种关系。根据我们发现的规律,我们可以猜测块数(P)=线段数(L)+交点数(I)+1

听过我介绍皮克定理(Pick’s Theorem)的思想发展史的小朋友应该记得,皮克定理就是通过这样的尝试和观察,然后猜想出来的。后面的证明过程就留给读者们自己去尝试了,并不难的。

那么,这里还有一个关键问题,就是线段数(L)和交点数(I)如何确定?

先看线段数(L)。

组合计数中的切水果数学问题

由于圆周上的任意两点都能确定一条直线段,那么就很容易可以知道,这就是在圆周上的n个点中选出2个点的组合问题了。因此:

组合计数中的切水果数学问题

再来看交点数(I)。

组合计数中的切水果数学问题

 我们发现,圆的内部交点都是由四个点所连接的两条直线所组成的,那么交点数量就成了在圆周上的n个点中选出4个点的组合问题了。

组合计数中的切水果数学问题

因此,我们可以综上得到:

组合计数中的切水果数学问题

这就是我们得到的一般化的公式。

大家还可以回头与之前文章中的相关问题进行比较,自己再总结一下这类题目的不同切入口,归纳一下解决这类问题时我们考虑的方面有哪些异同点。经过不断地训练,你们的数学思维能力会越来越好!

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