圆球体积和表面积计算公式的数学解释

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圆球体积和表面积计算公式相信大家都知道,但它究竟是怎么得到的呢?如何用数学来解释?下面让我们来一起探讨一下。

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

在人教版小学数学课本六年级下册中,有提到阿基米德墓碑上那个著名的几何图形“圆柱容球”,并说明阿基米德发现并证明了球体的体积公式。但在简短的介绍中,教材并未展开具体说明这个体积公式是如何得到的。其实阿基米德就是运用了后来被称作“卡瓦列里原理”或“祖暅原理”的数学思想,只不过阿基米德是先用物理学中的“杠杆原理”得到了球的体积公式,再用数学方法进行证明的。

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

我们这里只介绍数学的证明部分。原理其实很简单。在圆柱容球中,圆柱的高等于球体半径的2倍,即2R。

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

那么,以半个圆柱内所容纳的半个球体为例,我们发现:

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

(1)在同一高度上(假设此时高度为h),则左边半个球体中的横截圆半径的平方等于r2-h2(勾股定理),那么该圆的面积就是π×(r2-h2)。

(2)再看右边由圆锥所导致的圆环面积。很显然,这个圆环内半径就是高度h,于是我们得到圆环的面积等于大圆减去小圆,即πr2-πh2=π×(r2-h2)。

(3)我们发现,在同一高度上,左边半个球体中的横截圆面积等于右边由圆锥所导致的圆环面积。

由于“圆锥体积是等底等高圆柱体积的三分之一”,我们得到“半个球体的体积等于半个圆柱的体积减去中间的圆锥体的体积”,那么进一步推出“整个球体的体积等于整个圆柱的体积减去中间两个圆锥体的体积”,即:V球体=V圆柱体-2×V圆锥体=πr2×2r-2×(1/3)πr2×r=(4/3)πr3。

有人也许又要说:“老师,你这个方法不严谨,微积分证明才严谨。”那我就用微积分推导一下你们所谓的严谨证明。

先大致了解一下微积分是如何处理立体图形的体积计算的。基本思想很简单,把立体图形切成无数的平行薄片,然后进行积分计算。如下图所示:

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

接下来我们来看一下球体。同样的思路,我们同样可以对球体进行薄片切割。

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

我们把球放在一个二维坐标系内:

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

那么,与横轴垂直的横截面都是圆形,半径的平方为r2-x2。横截圆的面积就是π(r2-x2)。

因为这里体积的积分范围是-r到r,所以得到:

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

追求严谨证明的读者朋友看懂了吗?有意思吗?我个人觉得还不如阿基米德和祖暅的方法来得有趣味性。

微积分是一个伟大的发明,但并不是只有微积分的证明才叫严谨。就像科学上的理论并没有对与错的区别,而只有适用范围大小之别。这是一个并不浅显的科学方法论和哲学思想,可惜很多人搞不清楚。

在主流经济学中,很多人为了显示文章内容的高深,堆砌了满纸的数学公式,经济学文章搞得比物理和数学还像那么回事。从入门级别的经济学原理到中级和高级经济学,除了数学越来越多外,其实没有任何思想上的进步,数学只不过是皇帝的新衣罢了。而在数学上,经常也有人提出来:老师啊,你这个证明也没有用微积分啊,算不上是严格证明。要回答这个问题,陶哲轩第一个就会出来反对,不是有微积分的证明才叫严格,很多人就是搞不明白问题的重心,枉读这么多年书。

这里再给读者朋友们介绍一下相关的历史知识。

阿基米德在他的《处理力学问题的方法》中,利用“平衡法”求解体积,即“在数学上就是将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等),再用另一组微小单元来进行比较,而后一组微小单元的总和比较容易计算。只不过这两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。”因此,可以说阿基米德的平衡法体现了近代积分法的基本思想,阿基米德本人用它解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。比如阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式,即球的体积等于底面为球的大圆、高为球半径的圆锥的4倍。据此,阿基米德的方法比较接近于现代积分学。

在中国古代,祖冲之的儿子祖暅,利用祖氏定理“幂势既同,则积不容异”和“出入相补原理”方法,在牟合方盖的基础上,解决了刘徽绞尽脑汁未果的球体积问题,得出了球体积的正确公式。从中可以看出在求解有关球的性质的时候,我国并没有涉及到微积分方法。求解球积问题的基本方法是构造方法,利用数学建模的方式求得与原来的问题等价,借助于外来的力量解决几何问题。并且,刘徽、祖暅二人在具体求解时,首先计算出了球的体积,而球的表面积成为历史遗留问题,直到清代才得以完全解决。

根据我们前面所推导的球体积公式和相关的知识积累,我们可以进一步得到球的表面积计算公式。

圆球体积和表面积计算公式的数学解释

我们可以把整个球体分切成无数的锥体,每一个锥体的底面都是球体表面积的一小部分。当这些锥体不断进行分切时,每一个锥体的底面都越来越小,而它们的高则向球体的半径趋近。

因此我们可以得到:(1/3)×S表面积×r=(4/3)πr3。解方程得到:S表面积=4πr2。

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