空间想象力在几何数学解题中的重要性

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对于任何一门学科而言,空间想象力都是一种非常重要的能力,无论是作为自然科学的物理学,还是作为形式逻辑的数学,甚至是作为社会科学皇冠上明珠的经济学,都是适用的。没有想象力,我们的科学研究就很难像现在这样取得如此骄人的成绩。

由于最近对国际数学奥林匹克竞赛中的平面几何问题涉及较多,空间想象力的重要性让我感触颇深,今天我把部分心得写出来与读者朋友们分享。当然,如果你是几何数学解题高手,下面的文字可以忽略,本文写给那些缺乏空间想象力的孩子们。

空间想象力在几何数学解题中的重要性

1假设△ABC内接于一个以O为圆心的圆内,P为平面上的一个点,则下面的三个结论是等价的:(1)线段PA与圆(ABC)相切;(2)线段OA垂直于线段AP;(3PABACB

空间想象力在几何数学解题中的重要性

前两个很好理解,第三个如何理解呢?

我们知道,在圆内接四边形定理中,圆内接四边形的两个对角是互补的。那么,很容易推出一个结论:圆内接四边形任何一个内角的外角都与其对角相等。如图所示:

空间想象力在几何数学解题中的重要性

那么,大家想象一下,如果有一个圆内接四边形XABC,当点X趋向于A点,并最终重合时,是不是就得到了我们前面所得到的第三个结论:PABACB

2Russian Olympiad 2010△ABC周长为4。点XY分别位于射线ABAC上,AXAY1。线段BCXY相交于点M。证明:△ABM△ACM中哪一个周长为2

空间想象力在几何数学解题中的重要性

分析:这道题看着很简单的样子,但其实并非看上去那么容易证明。这里有两个困难:一是题目的条件很简单,二是要证明的问题并不是确定的。

空间想象力在几何数学解题中的重要性

但有限的条件还是给了我们一些线索,特别是AXAY1这句话。我们把AXAY分别进行延长至U点和V点,使得AUAV2。这个2正是我们要证明的结论。由于U点和V点分别是这个三角形ABC旁切圆的切点。那么根据下图所示,这个问题的关键就变成了如何证明AMMT了。

证明:令IA△ABC旁切圆的圆心,该旁切圆与BC边相切于T点。延长AB边和AC 边到U点和V点,使得AUAV2。那么线段XY就是这个旁切圆和以A点为圆心、半径为0的圆的基轴(radical axis)。于是可以得到AMMT。因此可以进一步推出:ABBMMAABBMMTABBTABBUAU2。证明完毕。

这里还需要进一步说明的是,如果该旁切圆与BC边相切于T点位于线段BM上,这个结论应该如何呢?我想,聪明的你应该已经知道答案了。

在这个问题里,把点A想象为以A点为圆心、半径为0的圆是一个关键,因为可以直接通过点X和点YAUAV的中点,推出线段XY是两个圆的基轴。

3Iran TST 2011)在锐角三角形ABC中,∠B大于∠C,点M为线段BC的中点,点E和点F分别为从点B和点C作高的垂足。点K和点L分别为线段MEMF的中点,T位于直线KL上,使得TABC。证明:TATM

空间想象力在几何数学解题中的重要性

证明:令ω△AEF的外接圆根绝切线引理可以得到T AMFME都与圆ω相切。把点M想象为圆心为M、半径为0的圆γ0,则点K位于这个圆与圆ω的基轴上。因此,Powω(K)=KE2=KM2=Powγ0(K)。同样地,L点也位于基轴上。因此,直线KL是这两个圆ωγ0的基轴。于是,TA2Powω(T)Powγ0 (T)TM2,所以TATM

这里,再一次用到了把点想象为半径为0的圆的思想,然后非常顺利地得到了基轴,并最终证明了结论。

引用上面这三个例子,只是作为抛砖引玉,说明空间想象力在几何数学解题中的重要性,希望对热爱数学的孩子们有所帮助。

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