高考数学隔板法和分组问题的区别

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近几年高考中关于排列组合题目的难度逐年降低,且越发偏重于实际应用,类似于偏重于理论的涂色问题已经不会出现在高考范围之内了,因此学习排列组合只需要掌握四种方法即可,即相邻问题的捆绑法,不相邻问题的插空法,元素相同的隔板法,元素不同的分组分配问题。

今天要说明其中的一个小问题,即有的题目看上去类似隔板法,又像是分组问题,但是用两种方法解出的答案差别很大,虽然教材中讲到隔板法是适用于元素相同问题,即名额分配问题,但是在一些题目中真的很难区分到底是不是相同元素问题,今天举一题目来说明到底隔板法和分组问题的区别。

问题:安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成一项,每项工作由一人完成,则不同的安排方式有多少种?

A.12种   B.18种   C.24种   D.36种

有的同学认为四项工作没有区别,属于相同元素问题,因此可以采用隔板法,即将四项工作分成三组即可,所以往四个工作所形成的三个空中插入两个隔板,这样就完成了分组工作,再将分好组的三份分给三个人,所以答案为:

高考数学隔板法和分组问题的区别

但是如果按照分组分配问题的解法,先分组再分配,过程如下:

高考数学隔板法和分组问题的区别

两者的答案并不同,有的学生会说了元素并不是相同的怎么可以使用隔板法?有的同学说又没有规定任务是否不同,为什么不可以使用隔板法,至于哪个正确不妨使用最原始的方法分组试一下看到底可不可以使用隔板法。

如果将四项工作设为A,B,C,D,则分成三组所有的可能分法如下:

高考数学隔板法和分组问题的区别

所以可以看出按照枚举法去掉重复的分成三组之后应该有6种分法,而如果使用隔板法隔板插入的方法只有3中,如下:

高考数学隔板法和分组问题的区别

上图可看出,两个隔板插入三个空共有以上三种情况,这种隔板法只是简单粗暴的将无差别的物体进行分组而已,不考虑分组之后的区别,因此若对于有差别的元素来说隔板法并不适合,例如将五本相同的书分成三组就可以使用隔板法,但是将五本不同的书分成三组就不可以使用隔板法。

这是一个很小的问题,但是也是一个很容易混淆的问题,因为排列组合是纯文字的问题,所以不同理解有不同答案,所以本题目的正确答案为36,求解方法是分组分配问题而不是隔板法,正确理解元素相同,即无差别,扔一起就区分不开。

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