组合计数隔板法在数学解题中的巧妙应用

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组合计数中一个常用的技巧便是“隔板法”,“隔板法”主要针对的是那些可以重复选取某些对象的情况,本讲将通过三道例题,对“隔板法”作进一步的应用拓展。

例1:小豆包和小樱桃姐妹俩跟着爸爸妈妈去吃自助餐。她们发现在自助餐厅里有哈根达斯冰淇淋提供,一共有香草、巧克力、草莓三种口味。服务员对两位小朋友说,每位小朋友每次只能往自己的碗里取5个冰淇淋球。请问一共有多少种冰淇淋球的搭配方法?

组合计数隔板法在数学解题中的巧妙应用

如图所示,我们要做的其实就是通过2个隔板把三种口味的冰淇淋球分隔开来,5个冰淇淋球加上2个隔板,一共7样物品,可以重复选择。因此答案就是C(7,2)=21种搭配方法。

例2:小明、小红、小张、小李4人分20颗大白兔奶糖,要求:(1)每个人分到的数量必须为正整数,20颗奶糖都要分完;(2)任何人分得的数量不能超过其他三人分得的数量总和。请问:一共有多少种分法?

先来看第一个要求,每个人分到的数量为正整数,那就相当于是在20颗糖的19个间隔中选3个放入隔板,这样必定能保证每人分到正整数颗奶糖。因此,全部的分法为C(19,3)=969种。

组合计数隔板法在数学解题中的巧妙应用

再看第二个要求“任何人分得的数量不能超过其他三人分得的数量总和”。这里直接计算不太容易,于是我们采用互补的思想,通过全部的分法减去“任何人分得的数量超过其他三人分得的数量总和”来得到最终的答案。要使其中一个人分到的大白兔奶糖的数量大于其他三人总和,我们可以先让其中一个人先得到10颗大白兔奶糖,然后将剩下的10颗在这四人之间进行分配,要求每人分到的数量为正整数。这样,无论如何分配,这个先得到10颗大白兔奶糖的人最终分到的数量都会大于其他三人分得的数量总和。这样的情况有C(9,3)。又因为每个人都有机会成为这个数量大于其他三人数量总和的人,所以要乘以4。因此不符合要求的情况是4×C(9,3)=336种。

组合计数隔板法在数学解题中的巧妙应用

综上,最终的分法为C(19,3)-4×C(9,3)=969-336=633种。

例3:将表达式(x+y+z)10展开,并进行化简,其结果有多少项?

我们知道,(x+y+z)10展开后的表达式最终都是可以一般化为kxaybzc的形式,其中k为一个常数,a、b、c都是非负整数,a+b+c=10。于是,这个问题就变成了2个隔板去分隔10个物品的情况了。因此,答案就是C(12,2)=66项。

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